کد 11 فصل 6 فصل ششم: ترکیبات و إ ن ت ع د وا ن ع م ة الل ه ل ت ح صو ه ا و اگر بخواهید نمی توانید نعمت های خدا را بشمارید. «سورۀ نحل» درس اول: شمارش شاید شمارش درنظر برخی یک مهارت با اهمیت ریاضی نباشد و یک عمل ساده درنظر گرفته شود. ام ا آیا واقعا شمردن همیشه آسان است می دانید که دو اتومبیل نباید پالک یکسان داشته باشند. با پالک هایی به صورت زیر با استفاده از حروف و اعداد چند اتومبیل را می توان پالک کرد 4 41 ج 97 اصل جمع و اصل ضرب فعالیت امین قصد دارد به خاطر قبولی در یک آزمون به دوستش پوریا شیرینی بدهد. او با خود فکر می کند که پوریا را به یکی از دو مکان رستوران»یا«آبمیوه فروشی دعوت کند. اگر به رستوران برود تنها یکی از نوع غذای قورمه یا قیمه را می تواند انتخاب کند و اگر به آبمیوه فروشی برود تنها یکی از سه نوع آبمیوه هویج سیب پرتقال را می تواند انتخاب کند. چند انتخاب برای پوریا وجود دارد قیمه قورمه هویج سیب پرتقال هفته بعد پوریا قصد دارد به خاطر تولدش امین را دعوت کند. اما او می خواهد امین را هم به آن رستوران»و«هم به آن آبمیوه فروشی ببرد و در رستوران یک انتخاب و در آبمیوه فروشی هم یک انتخاب به او بدهد. امین چند نوع انتخاب خواهد داشت چه تفاوتی در دو سؤال بال وجود داشت که باعث شد تعداد حالت های موجود در دو مثال متفاوت باشد هویج سیب پرتقال قیمه قورمه 1
در هر یک از دو سؤال بال چه رابطه ای بین تعداد گزینه های لیست های انتخابی رستوران و آبمیوه فروشی و تعداد حالت جواب وجود دارد چرا کد 11 فصل 6 اصل جمع: اگر کاری را بتوان به دو روش انجام داد و در روش اول m انتخاب و در روش دوم n انتخاب وجود داشته باشد برای انجام کار موردنظر m+n روش وجود دارد. m انتخاب روش اول n انتخاب روش دوم»توجه کنید که نهایتا قرار است کار موردنظر فقط با یکی از شیوه ها انجام شود. مثال در مثال 1 امین فقط یکی از کارهای رستوران بردن و یا آبمیوه فروشی بردن را انجام می دهد.«تعمیم اصل جمع: اگر کاری را بتوان به k روش انجام داد و در روش اول m 1 انتخاب در روش دوم m انتخاب و و در روش kام m k انتخاب وجود داشته باشد برای انجام کار موردنظر m 1 +m + +m k روش وجود دارد. اصل ضرب: اگر انجام کاری شامل دو مرحله باشد و برای انجام مرحله اول m انتخاب و برای هر کدام از این m روش مرحله دوم را بتوان به n روش انجام داد در کل کار موردنظر با m*n روش قابل انجام است.»توجه کنید که هر دو مرحله باید انجام پذیرد. مثال در مثال هم رستوران رفتن که مرحله اول است انجام می گیرد و هم آبمیوه فروشی رفتن که مرحله دوم است صورت می پذیرد.«مثال: فردی قصد دارد با اتومبیل خود از تهران به اصفهان برود و برای اینکار قصد دارد از قم عبور کند. اگر از تهران به قم دو مسیر a و b و از قم به اصفهان سه مسیر 1 و و وجود داشته باشند این فرد به چند طریق میتواند از تهران به اصفهان سفر کند حل: طبق اصل ضرب تعداد حالتها 6=* میباشد که عبارتند از a,1 a, a, b,1 b, b, a 1 اصفهان قم تهران b
کد 11 فصل 6 تعمیم اصل ضرب: اگر انجام کاری شامل k مرحله باشد و برای انجام مرحله اول m 1 روش برای انجام مرحله دوم m روش و و برای انجام مرحله k ام m k روش وجودداشته باشد )با فرض اینکه در هر مرحله انتخاب تمام روش های آن مرحله ممکن باشد( کار موردنظر با m 1 *m * *m k روش قابل انجام است. کار در کالس 1 پژمان قصد دارد به عیادت دوستش برود. او به یکی از دو انتخاب یک گل و یا یک شیرینی برای بردن به خانه دوستش فکر می کند. گل هایی که او در نظر دارد عبارتند از مریم گالیل زنبق و ر ز. شیرینی هایی که او درنظر دارد عبارتند از گردویی نارگیلی و کشمشی. او چند انتخاب دارد. هفته بعد پژمان می خواهد به دیدن خانه جدید یکی از دوستانش برود. او این بار می خواهد هم یک گل بخرد و هم یک شیرینی بخرد و همان گزینه ها را در ذهن دارد. او این بار به چند حالت می تواند خرید کند آنها را بنویسید. چرا با اینکه در هر دو قسمت قبل با تعداد انتخاب های و 4 مواجه هستیم تعداد حالت های ممکن در دو قسمت برابر نیستند 4 دو مسئله طرح کنید که یکی با اصل جمع و یکی با اصل ضرب حل شود. در برخی مسائل لزم است از هر دو اصل جمع و ضرب استفاده شود. مثال: فردی قصد دارد از تهران به اصفهان برود. او قصد دارد یا با اتومبیل خود و یا با قطار این سفر را انجام دهد. اگر با اتومبیل خود این سفر را انجام دهد مسیرها و انتخاب های او مانند مثال قبل است و اگر تصمیم بگیرد با قطار برود سه نوع قطار می تواند انتخاب کند. او در کل چند انتخاب دارد حل: اگر با اتومبیل برود طبق اصل ضرب به 6 طریق ممکن است و اگر قطار را انتخاب کند سه طریق. لذا طبق اصل جمع در کل 9 انتخاب دارد.
مثال: رمزی از سه حرف که می توانند فارسی یا انگلیسی باشند بدین صورت تشکیل شده است که حروف کنار هم از یک زبان نیستند. برای این رمز چند حالت ممکن است حل: حالت اول: اگر گزینه سمت چپ حرف فارسی باشد: 664=*6* حالت دوم: اگر گزینه سمت چپ حرف انگلیسی باشد: = 16 6**6 تعداد حالت ممکن: 486=664+16 کد 11 فصل 6 کار در کالس الف( می خواهیم ببینیم با سه رقم و و چند عدد سه رقمی می توان نوشت. )به طور مثال و دو تا از این اعداد هستند. برای این کار می توان نوشتن عدد سه رقمی را به صورت پرکردن سه جایگاه مقابل با ارقام مذکور درنظر گرفت. یکان دهگان صدگان بنابراین کاری است که سه مرحله دارد و هر سه مرحله آن باید انجام شود لذا برای به دست آوردن جواب تعداد راه های پرکردن هر جایگاه باید مشخص شده و با استفاده از اصل ضرب درهم ضرب شود. هر جایگاه را به سه حالت می توان پر کرد لذا 7 عدد وجود دارد. یا یا یا یا یا یا = * * تعداد حالت ها با نمودار درختی در سال های پیش آشنا شده اید. از این نمودار نیز می توان برای به دست آوردن تعداد اعداد موردنظر و نیز نوعی از نمایش آنها استفاده کرد.به نمودار درختی کشیده شده در حاشیه صفحه دقت کنید و آن را تکمیل نمایید. ب( می خواهیم ببینیم با همان سه عدد چند عدد سه رقمی می توان ساخت که رقم تکراری نداشته باشد. 1 برای پرکردن خانه اول چند حالت امکان دارد حال فرض کنیم یکی از اعداد را در اولین خانه گذاشتهایم برای پرکردن خانه دوم چند حالت امکان دارد یک عدد قرار گرفته است تعداد حالت ها تعداد حالت ها 4
کد 11 فصل 6 برای پرکردن خانه سوم چند حالت وجود دارد یک عدد قرار گرفته است یک عدد قرار گرفته است لذا = * * عدد سه رقمی توسط 1 و و با ارقام غیرتکراری وجود دارد. تعداد حالت ها ج( می خواهیم ببینیم با همان سه عدد چند عدد سه رقمی زوج می توان نوشت. 1 خانه سمت راست به چند روش می تواند پر شود به گونه ای که عدد ساخته شده زوج باشد دو خانه دیگر هر یک به چند روش می توانند پر شوند لذا تعداد اعداد در این حالت برابر است با = * * د( می خواهیم ببینیم با همان سه عدد چند عدد سه رقمی زوج با ارقام غیرتکراری می توان نوشت. 1 خانه سمت راست به چند روش می تواند پر شود به گونه ای که عدد ساخته شده زوج باشد پس از پرکردن خانه سمت راست خانه وسط به چند طریق می تواند پر شود پس از پرکردن دو خانه سمت راست و وسط خانه سمت چپ به چند طریق می تواند پرشود 4- لذا تعداد اعداد مورد نظر در این حالت برابر است با...=...*...*... مثال: با ارقام 7 و و و 0 الف( چند عدد سه رقمی می توان نوشت ب( چند عدد سه رقمی با ارقام غیرتکراری می توان نوشت ج(چند عدد سه رقمی زوج با ارقام غیرتکراری می توان نوشت د( چند عدد سه رقمی فرد با ارقام غیرتکراری می توان نوشت حل: الف( با توجه به اصل ضرب و چون رقم صفر در جایگاه صدگان نمی تواند باشد لذا تعداد حالت ها مطابق شکل مقابل می باشد.
لذا 48 عدد سه رقمی با ارقام مذکور میتوان نوشت. *4 * 4=48 ب( طبق اصل ضرب و با توجه به اینکه رقم صفر در سمت چپ نمیتواند بیاید و ارقام نباید تکرار باشند لذا تعداد حالتها مطابق شکل مقابل میباشد. لذا 18 عدد میتوان نوشت. **=18 ج( چون عدد موردنظر باید زوج باشد لذا رقم سمت راست باید 0 یا باشد و چون در حالتی که رقم سمت راست باشد رقم 0 سمت چپ هم نمیتواند باشد لذا باید دو حالت زیر را درنظر بگیریم و طبق اصل جمع تعداد حاصل در دو حالت را با هم جمع کنیم. کد 11 فصل 6 4 4 تعداد حالت ها تعداد حالت ها یا 7 حالت اول: اگر رقم سمت راست باشد یعنی رقم سمت راست یک حالت می تواند باشد لذا طبق اصل ضرب تعداد حالت ها به صورت مقابل است. * * 1=4 حالت دوم: اگر رقم سمت راست 0 باشد حالت های جایگاه ها مطابق مقابل می باشد. * * 1=6 لذا در کل 10 عدد می توان نوشت. تعداد حالت ها تعداد حالت ها 1 0 1 د( راه حل اول: با توجه به اینکه رقم سمت راست باید یا 7 باشد و رقم صفر هم نمی تواند رقم سمت چپ باشد. لذا تعداد حالت ها به صورت مقابل است. * * = 8 راه حل دوم: با توجه به صورت سؤال های )ب( )ج( و )د( می توان به صورت زیر جواب را محاسبه کرد: 8=18-10= جواب قسمت )ج( - جواب قسمت )ب( تعداد حالت ها تمرین 1 تعداد حالت های ممکن برای رمز یک دستگاه را در حالت های زیر به دست آورید.و مشخص کنید برای این کار از اصل جمع استفاده کردید یا از اصل ضرب یا از هر دو. الف( این رمز از یک گزینه تشکیل شده است که یا یک عدد است و یا یک حرف انگلیسی است. ب( این رمز از دو گزینه تشکیل شده است که گزینه اول یک عدد و گزینه دوم یک حرف انگلیسی است. ج( این رمز از دو گزینه تشکیل شده است که یکی از گزینه ها یک عدد و گزینه دیگر یک حرف انگلیسی است. 6
کد 11 فصل 6 د( این رمز از دو گزینه تشکیل شده است که یا هر دو گزینه عدد هستند و یا هر دو گزینه حروف انگلیسی هستند. ه( این رمز از 4 گزینه تشکیل شده است که دو گزینه اول اعداد غیرتکراری و دو گزینه دوم حروف انگلیسی غیرتکراری هستند. A فردی قصد دارد برای پرکردن یک فرم آماری به طور تصادفی به یک کارخانه برود. او برای این کار به شهرکی صنعتی می رود. در این شهرک بلوار اصلی و در هر بلوار بین 8 تا 10 خیابان و در هر خیابان بین 10 تا 1 کوچه و در هر کوچه بین 0 تا 0 کارخانه وجود دارد. حداقل و حداکثر تعداد انتخاب های او چند تاست B C می خواهیم رأس های مثلث زیر را با دو رنگ قرمز و آبی رنگ کنیم. الف( به چند طریق این کار امکان پذیر است ب( به چند طریق می توان این رنگ آمیزی را انجام داد به گونه ای که رأس هایی که به هم وصل هستند هم رنگ نباشند. ج( هر دو قسمت )الف( و )ب( را در حالتی که از سه رنگ مختلف استفاده می کنیم بررسی کنید. ب 1 4 با پالک هایی به صورت زیر که عدد دو رقمی سمت راست آنها از مجموعه A انتخاب شوند و سایر ارقام از مجموعه B انتخاب شوند و حرف استفاده شده در آن از مجموعه C انتخاب شود چند ماشین را می توان پالک کرد A=}11,,,99{ B=}1,,, 4,, 6, 7, 8,9{ }ی, ه, و, ن, م, ل, ق, ط, ص, س, د, ج, ب{= C - در یک کشور نوعی اتومبیل در مدل 10 رنگ حجم موتور مختلف و نوع دنده )اتوماتیک و غیر اتوماتیک( تولید می شود. الف ) چند نوع مختلف از این اتومبیل تولید می شود ب( اگر یکی از رنگ های تولید شده مشکی باشد چند نوع از این اتومبیل بارنگ مشکی تولید می شود ج( چند نوع از این اتومبیل مشکی دنده اتوماتیک تولید می شود 7
- 6 اغذیه فروشی به مشتری های خود اجازه می دهد که ساندویچ خود را با تمام ویا چندتا از مخلفات زیر و یا بدون آنها سفارش دهند.سس ترشی معمولی ترشی تند قارچ کاهو پیاز و پنیر.یک مشتری پس از انتخاب ساندویچ خود به چند طریق می تواند آن را سفارش دهد کد 11 فصل 6-7 یک آزمون تستی شامل 10 سوال 4 گزینه ای و سوال گزینه ای )بله - خیر( می باشد و فردی قصد دارد به سوال ها بصورت حدسی جواب دهد. او به چند روش می تواند این کار را انجام دهد اگر: الف( او مجبور باشد به همه سوال ها جواب دهد ب( بتواند سوال ها را بدون جواب هم بگذارد - 8 مسئله زیر را به گونه ای کامل کنید که جواب ارائه شده درست باشد. مسئله : چند عدد دو رقمی زوج می توان نوشت بطوریکه... حل: تعداد راه های نوشتن یکان برابر تاست و تعداد راه های نوشتن صدگان برابر 4 تاست. لذا با توجه به اصل ضرب 0 عدد با شرایط مورد نظر وجود دارد. 8
کد 11 فصل 6 درس دوم: جایگشت جایگشت سه فیش و سه درگاه مانند شکل مقابل وجود دارند که باعث اتصال دو دستگاه الکتریکی به هم می شوند. برای اتصال درست دو دستگاه باید هر فیش به درگاه مخصوص به خود وصل شده باشد. چند حالت مختلف برای اتصال سه فیش به سه درگاه وجود دارد بین تمام حالت ها فقط یکی منجر به کارکردن درست دستگاه می شود. آیا می دانید برای راحت تر پیدا کردن حالت درست شرکت های تولیدی چگونه عمل می کنند فعالیت 1 فرض کنید فیش ها را به نام های 1 و و بنامیم. حالت های مختلف قرار دادن آنها را درمربع های زیر بنویسید. آیا در سه مربع به هم چسبیده عددی می تواند تکرار شود 1 با توجه به اصل ضرب چگونه می توان تعداد این چینش ها را به دست آورد 1 فعالیت به چند حالت مختلف می توان چهار عدد 1 و و و 4 را کنار هم قرار داد می خواهیم مسئله قبل را با استفاده از اصل ضرب حل کنیم. فرض کنید 4 مربع به صورت مقابل وجود دارد که پرکردن هر کدام از مربع ها یک مرحله از چینش است. واضح است که هر چهار مرحله باید انجام شود لذا تعداد حالت های ممکن برای پرکردن مربع ها باید در هم ضرب شود. اولین مربع )مثال مربع سمت چپ( به چند روش می تواند پرشود پس از پرشدن اولین مربع چند عدد چیده نشده باقی مانده است حال دومین مربع را به چند روش می توان پر کرد سومین و چهارمین مربع را چطور حال با توجه به اصل ضرب تعداد حالت های ممکن برابر است با * * *»اگر چند شیء متمایز داشته باشیم به هر حالت چیدن آنها کنار هم یک جایگشت از آن اشیاء می گوییم.«9
بنابراین تعداد راه های چیدن چهار شیء متمایز یا به عبارتی تعداد جایگشت های چهار شیء متمایز عبارتست از حاصلضرب * * * به نظر شما تعداد روش های چیدن پنج حرف یونانی α و β و γ و و θ )به ترتیب آلفا بتا گاما دلتا و ت تا خوانده می شوند( کنار هم و بدون تکرار یا به عبارتی تعداد جایگشت های پنج شیء متمایز چندتاست کد 11 فصل 6 تعداد کلمات هفت حرفی )با معنی و بدون معنی( که از کنار هم قرار دادن حروف ت ش و ا ن پ ه می توان ساخت چندتاست. )بدون تکرار حروف( با استفاده از ارقام 1 4 6 7 8 9 چند عدد 9 رقمی با ارقام متمایز می توان نوشت تعداد جایگشت های 10 شیء متمایز چندتاست اگر n یک عدد طبیعی باشد تعداد جایگشت های n شیء متمایز را با یک حاصلضرب نشان دهید. معرفی یک نماد اگر n یک عدد طبیعی باشد حاصلضرب اعداد طبیعی و متوالی از 1 تا n را بهصورت!n )n فاکتوریل( نمایش میدهیم. به طور مثال 1=!1 *1 =! **1=! و قرار داد: 1=!0 حال با توجه به این نماد تعداد جایگشتهای n شیء متمایز برابر است با. فعالیت 1 حاصل عبارت های زیر را به دست آورید. 4!! 4 1 = = 4! 4 1 4! )ب )ث )الف ( ت 8! 6! 10! 9! 10! 8! n! (n 1)! n! (n )! )پ )ج چ 8!! 10! 7! )ح )خ n! (n )! n! (n 4)! )د n! (n )! )ذ n! (n k)! )ر 10
کد 11 فصل 6 حاصل ضربهای زیر را با استفاده از نماد فاکتوریل نمایش دهید. 8*9 )الف 6*7*8*9 )ب 9*10*11 )پ 8 )ت n(n-1( )ث n(n-1()n-()n-( )ج فعالیت 1 تعداد کلمات هفت حرفی که بدون تکرار حروف با حروف a, b d,, e, f, s, t می توان نوشت یعنی تعداد جایگشت های هفت شیء متمایز برابر است با. حال با توجه به اصل ضرب می خواهیم تعداد کلمات سه حرفی با حروف متمایز که با همان هفت حرف بال می توان نوشت را به دست آوریم. برای انتخاب اولین حرف از حروف کلمه سه حرفی چند انتخاب داریم برای انتخاب دومین و سومین حرف چطور بنابراین تعداد کلمات سه حرفی موردنظر برابر است با.. در واقع آنچه به دست آمد تعداد راه های چیدن سه شیء از هفت شیء متمایز و یا به عبارتی تعداد جایگشت های سه تایی از هفت شیء متمایز می باشد. تعداد جایگشت های چهارتایی از نه شیء متمایز را به دست آورید. 4 اعداد به دست آمده در مراحل و را با استفاده از فاکتوریل بنویسید. تعداد جایگشت های سه تایی از n شیء متمایز را به دست آورید و آن را با استفاده از فاکتوریل بنویسید. 6 تعداد جایگشت های rتایی از n شیء متمایز )0 r n( را به دست آورید و آن را با استفاده از فاکتوریل بنویسید. تعداد جایگشتهای r تایی از n شیء متمایز یا به عبارتی تعداد انتخابهای r شیء از بین n شیء متمایز که در آنها ترتیب قرار گرفتن مهم باشد را با p)n,r( نمایش میدهند و مقدار آن از دستور زیر محاسبه میشود. n! P(n,r) = (n r)! 11
مثال: با حروف کلمه»جهانگردی«و بدون تکرار حروف الف( چند کلمه 8 حرفی می توان نوشت چند تا از آنها به»ی«ختم می شود ب( چند کلمه 8 حرفی می توان نوشت که در آنها حروف»د«و»ی«کنار هم قرار داشته باشند پ( چند کلمه 6 حرفی می توان نوشت چند تا از آنها به»گردی«ختم می شوند ت( چند کلمه 8 حرفی می توان نوشت که در آنها حروف کلمه»جهان«چهار حرف اول باشند ث( چند کلمه 8 حرفی می توان نوشت که در آنها حروف کلمه»جهان«کنار هم باشند کد 11 فصل 6 حل: الف( برای نوشتن تمام کلمات 8 حرفی بدون حروف تکراری با این 8 حرف کافی است تعداد جایگشت های 8 شیء متمایز را به دست آوریم لذا جواب برابر!8 می باشد. در حالتی که حرف آخر» ی«باشد کافیست تعداد جایگشت ها روی هفت حرف دیگر را به دست آوریم لذا در این حالت جواب برابر!7 است. ب( حروف»د«و»ی«به دو حالت»دی«و»ید«می توانند کنار هم بیایند. برای پیداکردن تعداد کلماتی که در آنها این دو حرف به صورت»دی«در کنار هم آمده اند کافی است این دوحرف را یک حرف درنظر بگیریم لذا کافی است تعداد جایگشت های هفت شیء متمایز را به دست آوریم که برابر است با!7. چون همین تعداد هم برای حالت»ید«وجود دارد لذا جواب کلی برابر است با!7*. پ( تعداد کلمات شش حرفی برابر است با تعداد جایگشت های شش تایی از هشت شیء متمایز 8! 8! یعنی = = ), 86 )P در حالتی که کلمه بخواهد به»گردی«ختم شود با توجه به ( 8 6)!! اینکه چهار حرف آخر مشخص هستند لذا فقط باید تعداد حالتهای نوشتن دو حرف اول توسط حروف کلمه»جهان«را بهدست آورد که برابر است با تعداد جایگشتهای دوتایی از چهار شیء متمایز یعنی 4! P( 4, ) = = 1 ( 4 )! ت( چهار حرف اول حروف کلمه "جهان" هستند که به!4 حالت می توانند بیایند.حال 4 حرف آخر را باید با 4 حرف باقیمانده)گ ر د ی ) نوشت که این کارهم به!4 روش می توان انجام شود. لذا طبق اصل ضرب نوشتن کلمه مورد نظر به!4 *!4 روش می تواند انجام شود. ث( تعداد حالت های قرار گرفتن حروف کلمه»جهان«در کنار هم برابراست با تعداد جایگشت های چهار شیء متمایز یعنی!4. حال هر کدام از این جایشگت ها را که درنظر بگیریم برای نوشتن کلمه 8 حرفی کافی است این چهار حرف کنار هم قرار گرفته )چهار کلم ه»جهان«( را یک حرف حساب کنیم لذا کافی است تعداد جایگشت های پنج شیء متمایز را 1
کد 11 فصل 6 حساب کنیم که برابر است با!. لذا طبق اصل ضرب جواب برابر است با!*!4. کار در کالس 1 یک مربی فوتبال قصد دارد برای بازی پیش رو در تیم خود یک دفاع راست یک دفاع چپ یک دفاع جلو و یک دفاع عقب قرار دهد. او شش بازیکن دفاعی دارد که می توانند در هر کدام از این چهار پست بازی کنند. در شروع بازی چند حالت برای چیدن این خط دفاعی برای این مربی وجود دارد با عددهای و و و 1 چند عدد سه رقمی با ارقام غیرتکراری می توان نوشت تمرین 1 در هفته های پایانی یک لیگ فوتبال مشخص شده است که فقط پنج تیم بالی جدول شاخص قهرمانی دارند.به چند حالت مختلف تیم های اول تا سوم می توانند مشخص شوند از بین تعدادی کتاب مختلف می خواهیم سه کتاب را انتخاب کرده و در قفسه ای بچینیم و این کار را به 10 روش می توانیم انجام دهیم. تعداد کتاب ها چند تاست کدامیک از موارد زیر درست و کدام نادرست است 6! =! +! 6! = 6 *! 8! = 4! *! *! = 6! )!( = 9! 8! = ----- 10! 10*9 4 در یک نوع ماشین حساب کوچک که دارای 0 دکمه است برای انجام یک دستور خاص باید سه دکمه مشخص با ترتیبی مشخص فشار داده شوند. اگر فردی نداند سه دکمه مورد نظر کدامند و بخواهد با حدس زدن این کار را انجام دهد و فشردن هر سه دکمه ثانیه زمان بخواهد این فرد حداکثر )در بدترین حالت( در چه زمانی می تواند دستور مورد نظر را اجرا کند با حروف کلمه " گل پیرا " و بدون تکرار حروف الف( چند کلمه 6 حرفی می توان نوشت چند تا از آنها با " گل" شروع می شود ب( چند کلمه 4 حرفی می توان نوشت ج( چند کلمه 4 حرفی می توان نوشت که در آنها دو حرف "پ" و "ر " در کنار هم آمده باشند د( چند کلمه حرفی می توان نوشت که در آنها حروف کلمه "پیرا" کنار هم آمده باشند 1
کد 11 فصل 6 درس سوم: ترکیب فعالیت 1 همانطور که دیدید با پنج رقم و 4 و و و 1 تعداد عدد سه رقمی با رقم های غیرتکراری می توان نوشت که عبارتند از:! ( )! = 60 1 14 1 14 1 14 4 4 4 1 14 1 14 1 14 4 4 4 1 14 1 14 1 41 4 4 4 1 41 1 41 1 14 4 4 4 1 41 1 41 1 41 4 4 4 1 41 1 41 1 41 4 4 4 به شش عدد هر ستون نگاه کنید. چه ویژگی دارند با توجه به ستون های جدول بال چگونه می توانیم تمام زیرمجموعه های سه عضوی مجموعه } 1{,,, 4, را بنویسیم. این زیرمجموعه ها چندتا هستند آنها را بنویسید. }1,, { چه تفاوتی در فعالیت 1 و وجود داشت که تعداد حالت های مورد نظر آنها را متمایز کرد 4 هر ستون در فعالیت 1 چند زیر مجموعه سه عضوی از فعالیت را به دست می دهد با توجه به فعالیت 4 از تقسیم جواب فعالیت 1 بر چه عددی تعداد زیرمجموعه های فعالیت حاصل می شود و این عدد را چگونه می توان به دست آورد 14 نتیجه: همان طور که مشاهده کردید در فعالیت 1 ترتیب قرارگرفتن هر سه عدد انتخاب شده در کنار هم اهمیت دارد اما در فعالیت تمام 6 روش چینش هر سه عدد انتخاب شده یک زیرمجموعه سه عضوی را مشخص می کند یعنی در واقع هر زیرمجموعه عضوی یک حالت را مشخص می کند و فقط تعداد زیر مجموعه های سه عضوی از پنج عضو موردنظر اهمیت دارد. ازطرفی می دانیم تعداد جایگشت های r شیء از n شیء متمایز برابر است با n! P(n,r) = (n r)!
کد 11 فصل 6 لذا با توجه به فعالیت های 1 تا 6 تعداد زیرمجموعه های r عضوی از n شیء متمایز برابر است با P(n,r) r! به هر انتخاب r شیء از n شیء متمایز که در آن ترتیب انتخاب اهمیت نداشته باشد یا به عبارتی به هر زیرمجموعه r عضوی از n شیء یک ترکیب r تایی از n شیء نیز گفته می شود. تعداد ترکیب های r تایی از n شیء متمایز را معمول با c)n,r( یا n r نمایش می دهند. بنابراین n n! = r (n r)! ) 0 r n( مثال: از میان شش کتاب مختلف الف( به چند طریق می توانیم چهار کتاب را در یک قفسه کنار هم بچینیم ب( به چند طریق می توانیم چهار کتاب را برای هدیه دادن به فردی انتخاب کنیم حل: الف( چون ترتیب چیدن کتاب ها در قفسه مهم است لذا جواب برابر است با تعداد جایگشت های چهارتایی از شش شیء متمایز یعنی 6! P( 6, 4) = = 60 ( 6 4)! ب( چون ترتیب انتخاب کتاب ها اهمیتی ندارد لذا فقط باید تعداد انتخاب های چهار شیء از شش شیء متمایز یعنی تعداد زیرمجموعه های چهارتایی از شش شیء متمایز را محاسبه کرد که برابر است با 6 6! = = 1 4 ( 6 4)! 4! مثال: در یک دوره مسابقات کشتی از بین 4 داور ایرانی داور ژاپنی و داور روسی قرار است کمیته ای از داوران تشکیل گردد. به چند روش می توان این کار را انجام داد اگر: الف( کمیته 4 نفره باشد. ب( کمیته نفره باشد و از هر یک از سه کشور یک نفر در کمیته باشد. ج( کمیته نفره باشد و دقیقا دو داور ایرانی داشته باشد. د( کمیته نفره باشد و حداقل داور ایرانی داشته باشد. ه( کمیته 7 نفره باشد و شامل داور ایرانی داور ژاپنی و داور روسی باشد. حل: الف( چون فرقی ندارد که 4 نفر انتخاب شده از کدام کشور باشند لذا تنها تعداد زیرمجموعه های 4 نفره از این 9 نفر مورد نظر است که برابر است با: 9 9! = = 16 4 4!! 1
4 = و به همین طریق راه ب( تعداد روشهای انتخاب یک داور ایرانی برابر است با 4 1 برای انتخاب داور ژاپنی و راه برای انتخاب داور روسی وجود دارد و لذا طبق اصل ضرب تعداد روشهای انجام این کار برابر است با 4** =4 کد 11 فصل 6 ج( تعداد راه های انتخاب دو داور ایرانی برابر است با 4 =. حال داور دیگر باید از 6 بین داور غیرایرانی انتخاب شوند که به = 10 حالت میتوانند انتخاب شوند. لذا طبق اصل ضرب تعداد روشهای انجام کار برابر است با 4 = 6*10 =60 د( در این حالت تعداد داوران ایرانی یا نفر و یا 4 نفر می تواند باشد. در حالتی که تعداد داوران ایرانی نفر باشد این داوران به 4 4 = حالت می توانند انتخاب شوند. در این صورت دو نفر دیگر باید از بین داور غیرایرانی انتخاب شوند که این کار به می تواند انجام شود لذا طبق اصل ضرب 40=4*10 روش وجود دارد. در حالتی که تعداد داوران ایرانی 4 نفر باشد انتخاب این 4 داور به = طریق 10 4 4 = روش صورت 1 = طریق میگیرد و یک داور دیگر باید از بین داور غیرایرانی انتخاب شود که به 1 میتواند صورت گیرد لذا طبق اصل ضرب برای این حالت =1* روش وجود دارد و جواب کل برابر است با 4=40+. ه( تعداد روش های انتخاب داور ایرانی برابر است با داور ژاپنی برابر است با 4 = تعداد روش های انتخاب 4 1 = و تعداد راه های انتخاب داور روس برابر است با = لذا طبق اصل ضرب جواب برابر است با 1=1**4. r! کار در کالس 1 در کدام یک از موارد زیر ترتیب قرار گرفتن اشیاء اهمیت دارد و باید تعداد جایگشت های r شیء از n شیء متمایز مشخص شود و در کدام یک ترتیب قرار گرفتن اشیاء اهمیت ندارد و باید تعداد ترکیب های r تایی از n شیء متمایز مشخص شود الف( به چند حالت می توان کلمه سه حرفی بدون حرف تکراری با حرف متمایز نوشت )با 16
کد 11 فصل 6 معنی و بی معنی( ب( انتخاب سه شاخه گل از بین پنج شاخه گل متمایز. پ( از بین هفت بازیکن دفاعی یک تیم قرار است یک دفاع چپ یک دفاع راست و یک دفاع وسط انتخاب شود. به چند حالت می توان این کار را انجام داد ت( از بین هفت بازیکن دفاعی یک تیم سه نفر قرار است از تیم کنار گذاشته شوند. به چند طریق می توان این کار را انجام داد ث( ده نفر در یک دوره مسابقات شرکت خواهند کرد و سه نفر اول به المپیک راه خواهند یافت. به چند طریق ممکن است این سه نفر انتخاب شوند ج( ده نفر در یک مسابقه شرکت کرده اند و قرار است به نفرات اول تا سوم به ترتیب مدال های طال نقره و برنز داده شود. به چند طریق ممکن است این مدال ها بین افراد توزیع شوند در هر کدام از موارد کار در کالس 1 جواب را بنویسید. )نیاز به ساده کردن جواب نیست( از میان 8 ریاضی دان و 6 فیزیکدان و شیمی دان قرار است کمیته ای علمی انتخاب شود. به چند طریق این کمیته می تواند انتخاب شود هرگاه: الف( کمیته 6 نفره باشد و از هر رشته نفر در آن عضو باشند. ب( کمیته نفره باشد و از هر رشته حداقل یک نفر در آن عضو باشند. ج( کمیته نفره باشد و حداقل یک ریاضی دان در آن باشد. فعالیت از بین دو مدرس ریاضی دو مدرس فیزیک و دو مدرس شیمی قرار است یک کمیته دو نفره انتخاب شود به گونه ای که دو نفر انتخاب شده هم رشته نباشند. چندحالت برای انجام این کار وجود دارد به جواب های چند دانش آموز به سؤال بال که در زیر آمده است دقت کنید. محمد: از دو تا از رشته ها باید هر کدام یک نفر انتخاب شوند و از رشته سوم کسی انتخاب نشود لذا سه حالت زیر را می توان درنظر گرفت: ریاضی یک نفر فیزیک یک نفر و شیمی کسی انتخاب نشود. **1=4 ریاضی یک نفر فیزیک کسی انتخاب شود و شیمی یک نفر انتخاب شود. = 1 1 0 = 1 0 1 *1*=4 17
ریاضی کسی انتتخاب نشود فیزیک یک نفر و شیمی هم یک نفر انتخاب شود. لذا در کل 1=4+4+4 حالت امکان دارد. = 0 1 1 1**=4 کد 11 فصل 6 پژمان: می توان روش محمد را خالصه تر کرد یعنی یک مرحله ابتدا تعداد حالت های انتخاب راه امکان دو رشتهای که قرار است از آنها کسی انتخاب شود را محاسبه میکنیم که به دارد حال از هر کدام از دو رشته انتخاب شده به دو راه میتوان یک فرد انتخاب کرد لذا جواب برابر است با 1=**. حمید: ولی من فکر می کنیم مستقیما با اصل ضرب به روش زیر می توان آن را حل کرد. اولین فرد انتخاب شونده می تواند هر کدام از 6 نفر باشد لذا 6 حالت برای انتخاب اولین فرد وجود دارد. اما وقتی اولین فرد انتخاب شد دومین فردی که قرار است انتخاب شود نمی تواند هم رشته او باشد لذا برای انتخاب دومین فرد چهار راه وجود دارد. بنابراین تعداد کل راه های انتخاب برابر 4=4*6 حالت می باشد. دو نفر مدرس ریاضی را M و M 1 دو نفر مدرس فیزیک را P و P 1 و دو نفر مدرس شیمی را C و C 1 درنظر بگیرید و تمام حالت های ممکن برای آنها را بنویسید و جواب غلط را مشخص نمایید. نمودار درختی جواب غلط را بکشید. سپس علت غلط بودن آن را مشخص نمایید. فعالیت 1 میدانیم که n r همان تعداد زیر مجموعه های rتایی از n شیء متمایز می باشد. حال را یکبار با توجه به این تعبیر n r n n و 1 0 به زمین نمی روند به زمین می روند و یکبار با توجه به فرمول آن به دست آورید. الف( یک مربی قصددارد از بین بازیکنان شماره های و 4 و و و 1 سه نفر را برای رفتن به زمین بازی انتخاب کند. چند حالت برای این کار امکان دارد با پرکردن جدول مقابل تمام حالت را نمایش دهید. 1,, 1,, 4 4,, ب( این بار این مربی قصد دارد از بین همان بازیکنان دو بازیکن انتخاب کند که بر روی نیمکت بنشینند. چه انتخاب هایی دارد 18
کد 11 فصل 6 و پ( بین تعداد انتخاب های می کنید چه رابطه ای هست چگونه این رابطه را توجیه n n ت( بین تعداد انتخابهای و چه رابطهای هست چگونه این رابطه را توجیه n r r میکنید با استفاده از فرمول نیز ثابت کنید این دو مقدار با هم برابرند. n n و را به دست آورید. n n r با توجه به فعالیت های 1 و مقادیر 4 جاهای خالی را پرکنید. الف( تعداد زیرمجموعههای عضوی حروف انگلیسی برابر است با ب( تعداد زیرمجموعههای عضوی حروف انگلیسی که حرف a در آنها هست برابر است با ج( تعداد زیرمجموعه های عضوی حروف انگلیسی که حرف a در آنها نیست برابر است با = + د( بنابراین فرض کنیم A یک مجموعه n عضوی است و a یکی از n عضو A باشد. )a A( الف( تعداد زیرمجموعه های r عضوی مجموعه A برابر است با ب( تعداد زیرمجموعه های r عضوی A که a در آنها هست برابر است با ج( تعداد زیرمجموعه های r عضوی A که aدر آنها نیست برابر است با د( بنابراین تمرین تمرین = + 1 یک فروشنده تنقالت در فروشگاه خود پسته بادام گردو تخم کدو تخمه ژاپنی نخودچی و کشمش دارد. از نظر او در یک آجیل حداقل پنج نوع از تنقالت فوق باید وجود داشته باشد. او با تنقالت موجود در فروشگاهش چند نوع آجیل می تواند درست کند 19
یک اداره دارای 18 پرسنل است. این اداره 1 رییس معاون حسابدار 6 کارشناس اداری کارمند کارگزینی و کارشناس امور حقوقی می باشد. این اداره ماهانه باید جلسه ای نفره جهت بررسی و تصویب آخرین طرح های پیشنهادی برگزار کند. به چند طریق این گروه نفره می تواند انتخاب شود هرگاه: الف( رییس و یک کارشناس امور حقوقی در جلسه باشند.) فقط یک کارشناس امور حقوقی( ب( رییس و یک معاون و یک کارشناس امور حقوقی در جلسه باشند. ( فقط یک معاون و یک کارشناس امور حقوقی( ج( رییس و یک معاون یک حسابدار و یک کارشناس امور حقوقی در جلسه باشند. ( فقط یک معاون یک حسابدار و یک کارشناس امور حقوقی( کد 11 فصل 6 در یک کالس تعدادی از دانش آموزان که همگی دارای شرایط علمی خوبی هستند داوطلب حضور در مسابقات علمی مدرسه هستند. معلم قصد دارد نفر را به تصادف انتخاب کند و این دو نفر را به 8 روش می تواند از بین داوطلبان انتخاب کند. تعداد داوطلبان چند تا بوده است 4 گل فروشی در فروشگاه خود 10 نوع گل مختلف دارد. او در هر دسته گل تا شاخه گل متمایز قرار می دهد. او چند دسته گل مختلف می تواند درست کند یک نقاش قوطی هایی از 4 رنگ قرمز آبی زرد مشکیدارد اگر او با هر ترکیب هر دو رنگ یا تعداد بیشتری از این رنگ ها بتواند دقیقا یک رنگ جدید بدست آورد او چند رنگ می تواند داشته باشد چرا با اینکه در کارهای هنری فقط از همین 4 رنگ استفاده می شود اما تعداد رنگ های حاصل بیشتر از جواب شماست 6 هفت نقطه A وB و C و D و E و F و G روی محیط یک دایره قرار دارند. چند مثلث مختلف می توان کشید که ریوس آن از این هفت نقطه انتخاب شده باشند 7 یک آشپز دو نوع ادویه دارد. او با استفاده از هر تا از این ادویه ها یک طعم مخصوص درست می کند. این آشپز چند طعم می تواند درست کند هرگاه الف( هیچ محدودیتی در استفاده از ادویه ها نداشته باشد. ب( دو نوع ادویه هستند که با هم نمی توانند استفاده شوند. ج( سه ادویه هستند که نباید هر سه باهم استفاده شوند. د( ادویه ها به دسته تایی تقسیم می شوند که هیچ یک از ادویه های دسته اول با هیچیک از ادویه های دسته دوم سازگاری ندارند. 0
کد 11 فصل 6 1
کد 11 فصل 6